微分幾何基礎(chǔ)
微分幾何是現(xiàn)代數(shù)學領(lǐng)域中的重要分支,在理論探索和實際應(yīng)用中都是重要學科。大名鼎鼎的高斯、歐拉是微分幾何學派的創(chuàng)建者(是否記得多少公式和定理以這兩人的名字命名)。20世紀是微分幾何發(fā)展迅猛的100年,中國的數(shù)學家也做出過重要貢獻,如陳省身、邱成桐(菲爾茲獎得主)。在計算機領(lǐng)域,微分幾何是計算機圖形學的基礎(chǔ),逼真酷炫的電腦you戲、電影等,都是在微分幾何基礎(chǔ)上的產(chǎn)業(yè)化。在機器人領(lǐng)域,核心控制系統(tǒng)需要合適的傳感器(如相機)獲取信息,并理解環(huán)境信息,屬于計算機視覺的范疇;如需完成復雜動作,如抓取、放置等操作,則需要理解物體的幾何信息,需要用幾何特征描述來決策機器人要執(zhí)行的動作。
完成機器人抓取需要如下兩個過程:
·識別過程,屬于視覺和深度學習的范疇,在此不再贅述。
·獲取物體的三維空間描述,微分幾何。
三維空間中的物體有哪些特征呢?
曲率
為理解曲率,首先回到二維平面。什么是曲率?簡答說來,是幾何體的不平坦程度。平面曲線的曲率定義為其密切圓的倒數(shù)。采用微分的定義,密切圓在很小的范圍內(nèi)同曲線重合。故平面中的圓所有點曲率一直,為半徑的倒數(shù),密切圓為其本身。直線曲率處處為0,因其密切圓半徑無窮大。
曲線的密切圓和密切圓半徑。曲率為半徑的倒數(shù)。
三維空間中可用曲率描述曲面。包括兩個主曲率、高斯曲率、平局曲率等。點的主曲率是通過此點曲線大和小曲率。高斯曲率為兩個曲率之積,平均曲率則是兩個主曲率之平均。
一些特殊情況,如負曲率,如馬鞍型,常見使用:冷卻塔,廣州塔。
二次曲線(Conics)和二次曲面(Quadrics)
二次曲線也稱圓錐曲線,其在數(shù)學上的定位為一個正圓錐面和一個平面的相切形成的曲線。其公司可表述為:
其中A,B,C不得皆等于0。故常見的圓、橢圓、拋物線等皆屬于二次曲線。
二次曲面則是三維空間中常見的曲面,其一般公式為:
常見的二次曲面包括:
·橢球(Ellipsoid),形如
球體是橢球的一種特例
·雙曲面(Hyperbolic),形如
或
·圓錐體(elliptic cone),形如:
一些特殊二次曲面示例:
曲面擬合
在機器人抓取領(lǐng)域,一般采用深度相機作為傳感器。深度相機可直接獲取空間點云信息。對于特定物體的抓取,一般在檢測定位的基礎(chǔ)上,采用點云擬合的方式定位,從而獲取物體在深度相機坐標系下的位置和姿態(tài)。常用的擬合有如下幾種:
·平面擬合??臻g中的平面可由空間中一點和法向量唯yi確定。常用擬合方案有,主成分分析;小二乘法;隨機采樣法(RANSAC)。
·圓柱擬合。實際抓取場景中經(jīng)常碰到圓柱面物體的情況。實際點云擬合中,如果已知主軸方向,則可投影到平面中,做圓的擬合。如方向未知,可首先用PCA的方法確定主軸方向。
·球體擬合,看似復雜,實際只需確定圓心(一個點)和半徑。總共4個自由度(未知變量),可使用小二乘法或數(shù)值*化方法來確定。
不規(guī)則形狀
機器人抓取的實際場景中,一般曲面較為復雜,很難用簡單公式表述。對于復雜曲面(曲線),一般采用ICP(IterativeClosestPoint)的方案完成自由形狀的對齊。
總結(jié)
曲率是描述空間中的曲線或曲面重要的特征。一般來說,進行機器人抓取,需要首先利用圖像信息確定物體的圖像位置,然后通過深度相機獲取的點云信息技術(shù)其幾何特性,完成抓取過程。曲面擬合和ICP的方案仍然有許多細節(jié),在機器人抓取中需要特別注意。
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